Question

已知麦克劳林展开式求函数

Answer 1

两边求导：
Σx^2k/(2k)!=f'(x)
左边与原式没有区别，所以f(x)=f'(x),1=f'(x)/f(x)=(lnf(x))',lnf(x)=x+C,f(x)=De^x
f'(x)=De^x=f(x)，正确。
第二题相同
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+....
前式：f(x)=x/1!+x^3/3!+x^5/5!+.....
后式：g(x)=1+x^2/2!+x^4/4!+...
f(x)+g(x)=e^x
f'(x)=1+x^2/2!+x^4/4!+.....=g(x)
g'(x)=x+x^3/3!+x^5/5!+....=f(x)
所以：f(x)+f'(x)=e^x
f(x)=De^x代入
2De^x=e^x,D=1/2,所以，f(x)=e^x/2
(2)同理(为区分，换1个字母），g(x)+g'(x)=e^x,g(x)=e^x/2
齐次式：f(x)+f'(x)=0，f(x)=-f'(x),f'(x)/f(x)=-1,lnf(x)=-x+C,f(x)=Ee^(-x),
原方程特解：f(x)=e^x/2,通解f(x)=Ee^(-x)+e^x/2=g(x)

追答

Answer 2

这个要用微分方程做

追问

具体思路是什么