Question

高中数学。。

Answer 1

∵a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+3(m-n)²/4，对于任意正整数成立，

∴当m=n+1时，上式仍成立，即a(2n+1)+a(2n-1)=2a(2n)+3/4，

(a(2n+1)-a(2n))-(a(2n)-a(2n-1))=3/4，

∴数列{a(2n+1)-a(2n)}为公差3/4的等差数列，

a1=0，a2=1/8，a3=1，b1=1，

∴当m=n+2时，a(2n+3)+a(2n-1)=2a(2n+1)+3，

(a(2n+3)-a(2n+1))-(a(2n+1)-a(2n-1))=3，

∴数列{a(2n+1)-a(2n-1)}为公差3的等差数列，即数列{b(n)}为公差3的等差数列，

b(n)=1+3(n-1)=3n-2，

b(n+1)=3n+1，

S(n)=1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×11)+…… +1/((3n-2)×(3n+1))

=(1-1/4)/3+(1/4-1/7)/3+(1/7-1/11)/3+…… +(1/(3n-2)-1/(3n+1))/3

=1/3-1/(9n+3)=n/(3n+1)，

S1=1/4，Sp=p/(3p+1)，Sq=q/(3q+1)，

p²/(3p+1)²=1/4×q/(3q+1)，

4(3q+1)p²=q(3p+1)²，

∴4│q，设q=4n，则(12n+1)p²=n(3p+1)²，

∵ (12n+1，n) =1， (3p+1，p)=1，∴n=p²，12n+1=(3p+1)²，

12p²+1=9p²+6p+1，即3p²=6p，p=2，n=4，q=16，

S1=1/4，S2=2/7，S16=16/49，符合题意。