Question

函数的微分

Answer 1

函数的微分是：

由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

推导：

设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数，o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0是可微的。

AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出：当△x→0时，△y≈dy。

导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。

扩展资料：

正弦函数的导数：

假设正弦函数y=sin x（x的单位为弧度）上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy)：

d/dx(sin x)

=limδx→0 δy/δx

=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx

=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx

=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）

=cos x

最后得出d/dx(sin x)=cos x。

参考资料来源：百度百科-微分

Answer 2

在数学中，微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。当某些函数的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量△x，可以表示成△x和一个与△x无关，只与函数及有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在△x上的值。另一部分是比△x更高阶的无穷小，也就是说除以△x后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在x处的微分，记作df(x)或f'(x)dx。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

Answer 3

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

定义
设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

Answer 4

首先看一下微分定义:设函数y=f(x)在点x处导数存在,则此导数f'(x)与自变量Δx的积f'(x)Δx称为函数y=f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x),即:dy=f'(x)Δx (1)
由上可见,函数的微分有两个特性:
1、它是自变量改变量Δx的线形函数（以f'(x)为系数）；
2、它与函数的改变量之差Δy-dy=αΔx是一个比Δx高阶的无穷小(当Δx→0时),当f'(x)≠0时,它是Δy的主要部分,所以也称微分dy是改变量Δy的线性主部.由此得到一个很有用的近似公式:只要Δx很小,就有Δy≈dy,即
Δy≈f'(x)Δx.
通常,把自变量的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即Δx=dx,于是(1)可写为dy=f'(x)dx
由此可得dy/dx=f'(x),即函数微分与自变量微分之商等于该函数的导数,因此导数也叫微商.
当函数y=f(x)在点x处的微分存在时,也称函数在点x处可微,因此函数的可微和可导是等价的.

Answer 5

y = ln[(lnx)^2], y' = [1/(lnx)^2] (2lnx)(1/x) = 2/(xlnx)
或 y = ln[(lnx)^2] = 2ln(lnx) , y' = (2/lnx)(1/x) = 2/(xlnx)