Question

微分方程xy''+3y'=0的通解为

Answer 1

微分方程xy''+3y'=0的通解为C2/x^2+C1(C1、C2为任意常数)。

解：设y'=p，

那么xy''+3y'=0等价于xp'+3p=0，

则p'/p=-3/x

dp/(p*dx)=-3/x

dp/p=-3dx/x

ln|p|=-3ln|x|+c(c为任意常数），

那么p=e^c/x^3=C/x^3(C为任意常数)，

又y'=p=C/x^3，

所以y=∫C/x^3dx=-C/(2*x^2)+C1=C2/x^2+C1(C1、C2为任意常数，且C=-2C2)。

即微分方程xy''+3y'=0的通解为C2/x^2+C1。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

参考资料来源：百度百科-微分方程

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

令y'=p,则y''=p'
则原方程化为xp'+3p=0
即dp/p=-3dx/x
ln|p|=-3ln|x|+ln|C|
故p=C/x^3
即y'=C/x^3
y=∫C/x^3 dx=-C/ 2x²+C2
即y=C1 /x²+C2