Question

求这道题的第二问，谢谢老师们

求这道题的第二问，谢谢老师们一道导数大题

Answer 1

解析：
//第二问的表述比较拗口//
翻译过来就是：
(1) 在(0，+∞)上，f(x)/x单调递减
(2) 在(0，+∞)上，f(x)/x>0
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(1) 在(0，+∞)上，f(x)/x单调递减
[f(x)/x]'
=[(2/x+lnx)/x]'
=(2/x²+lnx/x)'
=2*(-2)/x³+(1-lnx)/x²
=(1-lnx-4/x)/x²
分母大于0，故后续只需要关注分母。
(1-lnx-4/x)'
=-1/x+4/x²
=(4-x)/x²
(1-lnx-4/x)max
=(1-ln4-1)
=-2ln2
<0
故，[f(x)/x]'<0
故，f(x)/x在(0，+∞)上单调递减。
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(2) 在(0，+∞)上，f(x)/x>0
f(x)/x，分母大于0，故只需要关注分母
(2/x+lnx)'
=-2/x²+1/x
=(x-2)/x²
故，
(2/x+lnx)min
=2/2+ln2
=1+ln2
>0
故，在(0，+∞)上，(2/x+lnx)/x>0
证毕。