Question

高数 积分 看图

Answer 1

∫x arctanx dx
=½∫arctanx d(x²+1)
=½(x²+1)arctanx - ½∫1dx (*)
=½(x²+1)arctanx -½x+C
注：此题中，将xdx化成½d(x²+1)比化成½d(x²)更简便(简便之处在*处)。

Answer 2

如果看着不好记，你就换种写法就好了。
设arctanx=y，则tany=x，dx=dtany=dy/cos^2y，
所以，原式可写作：
∫ytanydy/cos^2y
=∫ysinydy/cos^3y
=∫(-y/2)d(1/cos^2y)
=∫{d[(-y/2)(1/cos^2y)]-(1/cos^2y)d(-y/2)}
=[(-y/2)(1/cos^2y)]+(1/2)∫(1/cos^2y)dy
=[-y/(2cos^2y)]+(1/2)∫d(tany)
=-y/(2cos^2y)+tany/2
最后就是将y代回原式的arctanx，然后整理一下就好了。

Answer 3