f⁴₁(x²+1)dx，求下定积分的值，f是定积分符号
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国科安芯
2024-10-21 广告
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2019-08-05 · 国家定点培训基地，专注培养汽车人才。
云南万通汽车学校
云南万通汽修学校落于美丽的春城昆明，学校坏境优美，学习氛围浓厚。教学设施设备齐全，建有新能源汽车实训厅、整车实训厅、电器实训厅、汽车美容实训厅等20余个实训大厅，开设三十多个汽车技术专业。
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∫x²dx/(1+x²)²
=∫(x²+1-1)dx/(1+x²)²
=∫dx/(1+x²)-∫dx/(1+x²)²
=arctanx-∫dx/(1+x²)²
设x=tanθ →dx=sec²dθ
∫dx/(1+x²)²=∫sec²dθ/sec⁴θ=∫cos²θdθ
=½∫(1+cos2θ)dθ=½θ+¼sin2θ+C
=½θ+¼·2tanθ/(1+tan²θ)+C 万能公式
=½[arctanx+x/(1+x²)]
∴∫x²dx/(1+x²)²=arctanx-½[arctanx+x/(1+x²)]+C
=½[arctanx-x/(1+x²)]
=∫(x²+1-1)dx/(1+x²)²
=∫dx/(1+x²)-∫dx/(1+x²)²
=arctanx-∫dx/(1+x²)²
设x=tanθ →dx=sec²dθ
∫dx/(1+x²)²=∫sec²dθ/sec⁴θ=∫cos²θdθ
=½∫(1+cos2θ)dθ=½θ+¼sin2θ+C
=½θ+¼·2tanθ/(1+tan²θ)+C 万能公式
=½[arctanx+x/(1+x²)]
∴∫x²dx/(1+x²)²=arctanx-½[arctanx+x/(1+x²)]+C
=½[arctanx-x/(1+x²)]
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