Question

计算曲面积分∫∫ydydz-xdzdx+z^2dxdy其中，∑是z=√x^2+y^2被z=1,z

计算曲面积分∫∫ydydz-xdzdx+z^2dxdy其中，∑是z=√x^2+y^2被z=1,z=2所截部分的内侧，注意是内侧
答案给的是-15π/2，可我算得刚好相反，网上搜索的相同的题目取外侧时答案为-15π/2请问是答案出问题了吗

Answer 1

答案是15π/2，详情如图所示

Answer 2

由高斯公式，设∑所围成的立体为Ω，则 I＝? Σ ydydz+xdzdx+z2dxdy=∫∫∫ Ω (0+0+2z)dv =∫∫∫ Ω 2zdv用柱面坐标计算 . . ∫2π 0 dθ∫1 0 rdr∫1 r2 2zdz =∫2π 0 dθ∫1 0 r(1?r4)dr=2 3 π．

追问

啥东西。。。

Answer 3

补充 ∑1：z=1,x^2+y^2≤1,取下侧; ∑2：z=2,x^2+y^2≤4,取上侧. 则 I =∫∫ydydz-xdzdx+z^2dxdy -∫∫∑1下 -∫∫∑2上 前者用高斯公式,中者 z=1,dz=0,后者 z=2,dz=0, 得 I =∫∫∫2zdxdydz +∫∫dxdy-∫∫4dxdy =∫2zdz∫dt∫rdr +π-16π =∫2πz^3dz-15π = 15π/2-15π

追问

这是外侧吧

Answer 4

如图所示：

追问

那就对了，估计是书上答案错了，要不就是书上本来想让求外侧，结果打成内侧了

追答

这个结果有点巧妙，如果Σ是包括z=1和z=2这两个截面的话，即封闭曲面，结果就是-15π/2了