问一个高数题微分方程第三题
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求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x，y)处的切线的斜率=2x+y;
解：由题意可知：dy/dx=2x+y ..........①; 解此方程：
先求齐次方程 dy/dx=y的通解：分离变量得 dy/y=dx；
积分之得 lny=x+lnc₁，故齐次方程的通解为：y=c₁e^x；
将c₁换成x的函数u，得 y=ue^x...........②；对①取导数得：y'=u'e^x+ue^x.........③
将②和③代入①式得：u'e^x+ue^x=2x+ue^x；化简得：u'e^x=2x;
故du=2xe^(-x)dx；积分之得u=2∫xe^(-x)dx=-2∫xd[e^(-x)]=-2[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]
=-2[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)]=-2[xe^(-x)+e^(-x)]+c=-2(x+1)e^(-x)+c
代入②式即得通解为：y=[-2(x+1)e^(-x)+c]e^x=-2(x+1)+ce^x;
因为过原点，故x=0时y=0，代入得 c=2；
故所求曲线的方程为：y=-2(x+1)+2e^x ;
解：由题意可知：dy/dx=2x+y ..........①; 解此方程：
先求齐次方程 dy/dx=y的通解：分离变量得 dy/y=dx；
积分之得 lny=x+lnc₁，故齐次方程的通解为：y=c₁e^x；
将c₁换成x的函数u，得 y=ue^x...........②；对①取导数得：y'=u'e^x+ue^x.........③
将②和③代入①式得：u'e^x+ue^x=2x+ue^x；化简得：u'e^x=2x;
故du=2xe^(-x)dx；积分之得u=2∫xe^(-x)dx=-2∫xd[e^(-x)]=-2[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]
=-2[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)]=-2[xe^(-x)+e^(-x)]+c=-2(x+1)e^(-x)+c
代入②式即得通解为：y=[-2(x+1)e^(-x)+c]e^x=-2(x+1)+ce^x;
因为过原点，故x=0时y=0，代入得 c=2；
故所求曲线的方程为：y=-2(x+1)+2e^x ;
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