Question

求一阶线性微分方程

求一阶线性微分方程想要步骤详细点

Answer 1

求微分方程的通解：(1). xy'+y=x²+3x+2； 

解：先求齐次方程 xy'+y=0的通解：分离变量得 dy/y=-dx/x；

积分之得 lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)；故齐次方程的通解为 y=c₁/x；

将c₁换成x的函数u，得y=u/x.........①；取导数得 y'=(xu'-u)/x².........②

将①②代入原式得 (xu'-u)/x+(u/x)=x²+3x+2；化简得 u'=du/dx=x²+3x+2;

故u=∫(x²+3x+2)dx=(1/3)x³+(3/2)x²+2x+c；

代入①式即得通解为：y=(1/3)x²+(3/2)x+2+(c/x)；

(2). ylnydx+(x-lny)dy=0

P=ylny；∂P/∂y=lny+1；Q=x-lny, ∂Q/∂x=1;

由于(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/ylny)(lny)=1/y=H(y)是y的函数，因此有积分因子μ：

μ=e^(-∫(1/y)dy=e^(-lny)=1/y；用μ乘原方程(2)的两边得：lnydx+[(x-lny)/y]dy=0

此时∂P/∂y=1/y=∂Q/∂x；故是全微分方程，其通解为u(x，y):

即原方程的通解为：u(x，y)=xlny-(1/2)ln²y=C.

Answer 2

xy'+y=x^2+3x+2
由已知,(xy)'=x^2+3x+2 ,
因此 xy=1/3*x^3+3/2*x^2+2x+C ,
通解为 y=1/3*x^2+3/2*x+2+C/x .