Question

关于x的不等式|x+4|+|x+3a|>2a的解集为A,关于y的不等式y+4/y+3a≤0的解集为B

设关于x的不等式|x+4|+|x+3a|>2a的解集为A,关于y的不等式y+4/y+3a≤0的解集为B,若B⊆A,求实数a的取值范围

Answer 1

a>=4/姿燃3时|x+4|+|x+3a|

={2x+4+3a,x>=-4;3a-4,-3a<x<-4;-2x-4-3a,x<=-3a.
|x+4|+|x+3a|>2a①化为3个不等式组：

1)x>=-4,2x+4+3a>2a;
2)-3a<x<-4,3a-4>2a;
3)x<=-3a,-2x-4-3a>2a.
由1)x>=max{-4,-(a+4)/2}=-4,a>=4,或-(a+4)/2,4/3<=a<4,
由2),-3a<x<-4,a>4;
由3),x<=min{-3a,-(5a+4)/2}=-3a,a<=4,或-(5a+4)/2,4/3<=a<=4.
∴a>4时①的解是R;4/3<=a<=4时①的解是x>=-(a+4)/2或x<=-(5a+4)/2.
a<4/3时|x+4|+|x+3a|
={2x+4+3a,x>=-3a;4-3a,-4<x<-3a;-2x-4-3a,x<=-4.
①化为
4)x>=-3a,2x+4+3a>2a;解得4/5<=a<4/3时x>-(a+4)/2;a<4/5时x>=-3a.
5)-4<x<-3a,4-3a>2a;解得a<4/5,-4<x<-3a.
6)x<=-4,-2x-4-3a>2a,解得4/5<=a<4/3时x<-(5a+4)/2;a<4/5时x<=-4.
∴a<4/5时①的解是R;4/5<=a<4/3时①的解是x>-(a+4)/2或x<-(5a+4)/2
关于y的不等式y+4/y+3a≤0的解集为迹让虚
B={y|y<=[-3a-√(9a^2-16)]/2,或[-3a+√(9a^2-16)/2<=y<0,a>=4/3},
或{y|y<0,-4/3<a<4/3},
或{y|y<0,或[-3a-√(9a^2-16)]/2<=y<=[-3a+√(9a^2-16)]/2,a<=-4/3}.
B⊆A,在a>滑并4或a<4/5时显然成立；
4/3<=a<=4时[-3a-√(9a^2-16)]/2<=-(5a+4)/2,且-（a+4)/2<=[-3a+√(9a^2-16)/2,
∴2a+4<=√(9a^2-16),
平方得4a^2+16a+16<=9a^2-16,
5a^2-16a-32>=0,
a>=(8+4√14)/5或a<=(8-4√14)/5与4/3<=a,=4的交集是空集。
4/5<=a<4/3时B⊆A不成立。
综上，a的取值范围是(-∞，4/5)∪(4,+∞).