Question

叠加原理

Answer 1

对于由线性偏微分方程和线性定解条件组成的定解问题，可以运用叠加原理，它对于求解干扰井问题和边界附近的井流问题用处很大。因此，有必要先对它做一简单介绍。

叠加原理可表述为：如H₁，H₂，…H_n是关于水头H的线性偏微分方程的特解，C₁，C₂，…C_n为任意常数，则这些特解的线性组合：

地下水动力学（第二版）

仍是原方程的解。式（3—51）中的这些常数，要根据H所满足的边界条件来确定。如方程是非齐次的，并设H₀为该非齐次方程的一个特解，H₁和H₂为相应的齐次方程的二个解，则

地下水动力学（第二版）

也是该非齐次方程的解。常数C₁和C₂由H所满足的边界条件确定。

下面举一简单例子，具体说明叠加原理的含义。设在河湾处的承压含水层中有抽水井P₁和P₂，分别以流量Q=A和Q=B抽水。渗流区D的边界r是由河流和渠道组成的第一类边界。边界Г₁上有H=H^（1），Г₂上为H=H^（2），如图3—12所示。在含水层为均质各向同性，地下水流为稳定流的条件下，水头H满足Laplace方程，并可表示为如下定解问题。

图3—12　渗流区边界条件和井流的分解平面图

在D内

边界条件为：H=H^（1），在Γ₁上；

H=H^（2），在Г₂上。

在P₁点

在P₂点

根据叠加原理，上述定解问题可分解为三个子问题：一是边界条件和原定解问题相同，但渗流区内没有井，即P₁井和P₂井的Q=0，此时的解为H₁（x，y）（图3—12b）；二是在齐次边界条件下（即Г₁和Г₂上的H=0），P₂井没有抽水，Q=0，P₁井以Q=1抽水，这时的解为H₂（x，y）（图3—12c）；三是在齐次边界条件下，P₁井的Q=0，只有P₂井以Q=1抽水，其解为H₃（x，y）（图3—12d）。此时，三个特解的线性组合：

H（x，y）=H₁（x，y）+AH₂（x，y）+BH₃（x，y）

即为原定解问题的解。为了证明这一点，可将上式分别代入偏微分方程和边界条件，有：

▽²H＝▽²（H₁+AH₂+BH₃）＝▽²H₁+A▽²H₂+B▽²H₃=0+0+0=0

在Γ₁上　　H=H₁+AH₂+BH₃=H^（1）＋0+0=H^（1）

在Г₂上　　H=H₁+AH₂+BH₃=H^（2）＋0+0=H^（2）

在P₁点　　

在P₂点　　

可见，H=H₁+AH₂+BH₃既满足Laplace方程，又满足全部边界条件，故为原定解问题的解。

叠加解的物理意义表示在图3—13中。由图可见，首先求出不存在抽水井时，由边界条件单独影响形成的水头H₁（x，y）；然后，在齐次边界条件下，即假设边界水头均为零（H=0），分别求出P₁井流量为A和P₂井流量为B时，单独抽水时产生的降深（负水头值分别为－s₁（x，y）和－s₂（x，y））。三者叠加H=H₁-s₁-s₂，便得边界条件和抽水井共同作用下的水头值。

图3—13　剖面上解的叠加示意图

上述例子可推广到有多口抽水井或注水井的情况。对非稳定井流，也可作类似分析^{〔2〕，〔19〕}，这里不再重复。

综合上例分析，不难得出下列结论：

（1）各个边界条件的作用彼此是独立的。一个边界条件的存在，并不影响其他边界条件存在时所得到的结果（对于初始条件也是如此）。不同类边界条件所造成的结果之间彼此也互不影响。因此，若干个不同类边界条件的综合结果等于各单个边界条件单独作用所得结果的叠加。

（2）各抽水井的作用也是独立的。在齐次定解条件下，承压井群产生的降深，等于各井单独产生降深的叠加。

（3）潜水含水层的微分方程是非线性的，不能应用叠加原理，但用线性化方法，把描述潜水运动的微分方程线性化后，仍可应用叠加原理。