Question

∫(2x+3)/(x²+2x+5)dx

Answer 1

这是一个带有分式微积分的不定积分题目，需要使用换元法来求解。

令u = x² + 2x + 5，则du/dx = 2x + 2

将u代入原式中，可得：

∫(2x+3)/(x²+2x+5)dx = 1/2 ∫(2x+2+1)/(x²+2x+5)dx

即∫(2x+3)/(x²+2x+5)dx = 1/2 ∫(2x + 2)/(x² + 2x + 5) dx + 1/2 ∫1/(x² + 2x + 5) dx

对于第一个积分，进行部分分式分解，得到：

(2x + 2)/(x² + 2x + 5) = A/(x+1) + B/(x+1)^2

解方程得到A = 3/4, B = 1/4

因此，第一个积分为：

1/2 ∫(2x + 2)/(x² + 2x + 5) dx = 1/2 ∫[3/(4(x+1)) + 1/4/(x+1)^2] dx

= 3/8 ln|x+1| - 1/4 /(x+1) + C

对于第二个积分，可以使用三角代换法，令：

x+1 = √2 tanθ，dx = √2 sec²θ dθ，x² + 2x + 5 = 2(tan²θ + 1) + 3

那么：

1/2 ∫1/(x² + 2x + 5)dx = 1/√2 ∫cos²θ/(5 + 2√2 tanθ) dθ

使用倍角公式cos²θ = (cos2θ + 1)/2和tanθ = (x+1)/√2，代入后可得：

1/2 ∫1/(x² + 2x + 5)dx = 1/√2 ∫(cos2θ + 1)/(10 + 2x) dθ

= 1/2√2 ∫(1/5 + 1/(5+2x)) dθ

= 1/2√2 (1/5 arctan((√2(x+1))/3) + 1/(10√2) ln|5+2x|) + C

将两个积分结果相加得到最终结果：

∫(2x+3)/(x²+2x+5)dx = 3/8 ln|x+1| - 1/4 /(x+1) + 1/2√2 (1/5 arctan((√2(x+1))/3) + 1/(10√2) ln|5+2x|) + C

其中C为积分常数。

Answer 2

如图