Question

线性代数问题

如图标记处 特征向量a2 和 a3是怎么根据一个方程求出来的?

Answer 1

r(E–A)=1,所以关于λ=1有两个线性无关的特征向量，同解方程是x1-x2+x3=0.现在的问题就是求这个只有一个方程的方程组的基础解系，其中有两个向量，就是要求的α2，α3.根据基础解系理论，上面的齐次方程的任意两个线性无关的解都是基础解系。通常的做法是取x2=1,x3=0,得到α2=(1，1，0),x2=0,x3=1,得α3=(–1,0,1).这里α2，α3与α1都正交，但α2,α3只是线性无关，下面的第二个解法要有两两正交的三个特征向量，就需要把α2,α3先用施密特正交化方法正交化，为了避免这个正交化，答案就直接取了α3=(1，–1，2)，这里α3是令x2=–1,x3=–2得到的，显然α2，α3线性无关，是基础解系从而是属于1的特征向量，与α1仍然都正交，且α2，α3也正交，这样就可以避免施密特正交化。至于怎么找这样的α3，是设α3=(x1,x2,x3)与α1和α2都正交，则两个内积x1–x2+x3=0,x1+x2=0,α3是这个齐次方程组的基础解系。

Answer 2

第一步，分析x1-x2+x3=0。
求λ=1对应的特征向量。
令x1=1且x3=0时，x2=x1=1，所以对应的特征向量为(1,1,0)。
第二步，求λ=1的另一个特征向量。
令x1=1,x2=-1，则x3=-2，
所以对应的特征向量为(1,-1,-2)