Question

这题怎么求极限？

括号的外的指数应该是1/x^2

Answer 1

分享一种解法。原式=e^{lim(x→∞)(1/x²)ln[∫(0,x)(e^t²)dt]}。
应用洛必达法则，lim(x→∞)(1/x²)ln[∫(0,x)(e^t²)dt]=1。∴原式=e。
供参考。

追问

用洛必达那(1/x²)应变为2x才对啊

Answer 2

L=lim(x->+∞) [ ∫(0->x) e^(t^2) dt ]^(1/x)
lnL
=lim(x->+∞) ln [∫(0->x) e^(t^2) dt ]/x (∞/∞ 分子分母分别求导)
=lim(x->+∞) e^(x^2) /∫(0->x) e^(t^2) dt (∞/∞ 分子分母分别求导)
=lim(x->+∞) 2x.e^(x^2) /e^(t^2)
=lim(x->+∞) 2x
->+∞
=>lim(x->+∞) [ ∫(0->x) e^(t^2) dt ]^(1/x)-> +∞

追问

括号的外的指数应该是1/x^2

追答

lim(x->+∞) ∫(0->x) e^(t^2) dt / [x.e^(x^2)] (∞/∞ 分子分母分别求导)
=lim(x->+∞) e^(x^2)/[ e^(x^2) +2x^2.e^(x^2) ]
=lim(x->+∞) 1/( 1 +2x^2)
=0
//
L=lim(x->+∞) [ ∫(0->x) e^(t^2) dt ]^(1/x^2)
lnL
=lim(x->+∞) ln [∫(0->x) e^(t^2) dt ]/(x^2) (∞/∞ 分子分母分别求导)
=lim(x->+∞) e^(x^2) / [2x.∫(0->x) e^(t^2) dt ] (∞/∞ 分子分母分别求导)
=lim(x->+∞) 2x.e^(x^2) /[ 2x.e^(x^2) + 2∫(0->x) e^(t^2) dt ]
分子分母同时除以 2x.e^(x^2)
=lim(x->+∞) 1 /{ 1 + ∫(0->x) e^(t^2) dt / [x.e^(x^2) ] }
=lim(x->+∞) 1 /( 1 + 0 )
=1
=>
L= lim(x->+∞) [ ∫(0->x) e^(t^2) dt ]^(1/x^2) = e