Question

高中数学不等式问题

求函数y=(x^2+13)/根号(x^2+4)和y=(x^2+5)/根号(x^2+4）最小值

要过程 谢谢

Answer 1

y=(x^2+13)/根号(x^2+4)=y=(x^2+4+9)/根号(x^2+4)=根号(x^2+4)+9/根号(x^2+4)>=2根号（9）=6
等号成立的条件当且仅当根号(x^2+4)=9/根号(x^2+4)时，即x=+-根号5时，y有最小值6
2）令t=根号(x^2+4) >=2
的出x=根号（t^2-4）
原式=t+1/t是对勾函数，当t=2是取最小值5/2
此题主要考察均值不等式中等号成立的条件。对与第二题就不能用均值不等式做了

Answer 2

(x^2+13)/√(x^2+4)=√(x^2+4)+9/√(x^2+4)≥2√（√(x^2+4)*9/√(x^2+4)）=2√9=6 当x=+-√5取
y=(x^2+5)/√(x^2+4）=√(x^2+4）+1/√(x^2+4）
注意这里不能用a+b≥2√(ab) 因为a=b是不可能的 1/√(x^2+4）=√(x^2+4）在实数范围不可能
令y=t+1/t 求导 y‘=1-1/t^2
√(x^2+4）≥2
当t≥2时 y‘≥0 y=t+1/t是增函数
所以在 t=2取最小
也就是y=(x^2+5)/√(x^2+4）=√(x^2+4）+1/√(x^2+4）在x=0取最小5/2

Answer 3

1.令t=√(x^2+4) t≥2
f(t)=(t^2+3)/t=t+3/t
显然f(t)在定义域内递增
于是fmin(x)=7/2
2.同理，fmin(x)=5/2