Question

高二数学 函数题

若函数fx=(x-1)(x-a)²-a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是多少

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Answer 1

若函数f(x)=(x-1)(x-a)²-a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是多少?
解：x→-∞时f(x)→-∞；x→+∞时f(x)→+∞；
f'(x)=(x-a)²+2(x-1)(x-a)=(x-a)(3x-a-2)=0，得驻点x₁=a；x₂=(a+2)/3；
只要f(x)的两个极值异号，就能保证f(x)有两个零点。
(一). 当a<(a+2)/3，即a<1时, x₁是极大点，x₂是极小点，此时应使：f(x₁)>0，且f(x₂)<0;
即：f(x₁)=f(a)=-a+1>0，即a<1..............①；
f(x₂)=f[(a+2)/3)]=[(a+2)/3-1][(a+2)/3-a]²-(a-1)=(a-1)[4(a-1)²/27-1]
=(4/27)(a-1)[(a-1)²-27/4]=(4/27)(a-1)[(a-1-(3√3)/2][(a-1+(3√3)/2]<0
解得a<1-(3√3)/2或1<a<1+(3/√3)/2.........②； ①∩②={a∣a<1-(3/2)√3}...........(A)
(二). 当a>(a+2)/3，即a>1时, x₂是极大点，x₁是极小点；此时应使f(x₂)>0，且f(x₁)<0；
f(x₂)=f[(a+2)/3]=(a-1)[4(a-1)²/27-1]=(4/27)(a-1)[a-1-(3√3)/2][a-1+(3√3)/2]>0，
解得：1-3(√3)/2<a<1或a>1+(3√3)/2..........③
f(x₁)=-a+1<0，即a>1..........④ ; ③∩ ④={1<a<2+3√3}..........(B)
结论：a的取值范围为：A∩B={a∣1-(3/2)√3<a<1}∪{a∣1<a<2+3√3};

Answer 2

如图

Answer 3

f(x)=(x+a)(bx+2a) =bx2+a(2+b)x+2a2 ∵f(x)是偶函数，x一次项系数为0，即a(2+b)=0，a=0或b=-2 那么f(x)=bx2+2a2 又∵值域是（-∞，4）,可知，a不能为0.则b=-2 且2a2=4 则函数解析式为f(x)=-2x2+4

追问

所以呢

所以呢