Question

极限问题，高等数学，第62题，看到这样一道题怎么样的思想去解题，求过程，谢谢

Answer 1

因为 x∈[0，1]，所以 0≤ln(1+x)<1，
因此 [ln(1+x)]^n → 0 (n→∞)，
所在原式 = 0 。

Answer 2

夹逼定理来求解：
因为：[ln(1+x)] <x x∈[0,1]
【这个的证明，可以构造函数F(x)=ln(1+x)-x,然后使用单调性可求得在区间[0,1]最大值为0】
所以 原式<=∫(0,1)x^n/(1+x^2)dx <∫(0,1)x^ndx =1/(n+1)x^n|(0,1)=1/(n+1)
所以.lim∫(0,1) [ln(1+x)]^n/(1+x^2)dx <=lim 1/(n+1)=0
而： [ln(1+x)]^n/(1+x^2)>=0 所以 lim∫(0,1) [ln(1+x)]^n/(1+x^2)dx>=0
综合得：
lim∫(0,1) [ln(1+x)]^n/(1+x^2)dx=0