Question

求微分方程的通解： y³y”-1=0

Answer 1

解：设y’=p,则：y＂=pdp/dy,代入微分方程有：
y^3pdp/dy-1=0
Pdp=dy/y^3
∫pdp=∫dy/y^3
(1/2)p^2=-[1/2y^(-2)]+c1.
p^2=-y^(-2)+2c1
p=√[-y^(-2)+2c1].进一步代入y’,则：
ydy/√(c2y^2-1)=dx,即：
(1/c2)∫d（c2y^2）/2√(c2y^2-1)=∫dx
（1/c2）√(c2y^2-1)=x+c3
√(c2y^2-1)=c2(x+c3)
(c2y^2-1)=c2^2(x+c3)^2.
化简后，形如双曲线：
y^2/(1/c2)-(x+c3)^2/[(1/c2)^2]=1.

Answer 2

对于Y=c-x，
可知y'=（c-x)'=c'-x'=0-1=-1
y''=（y'）'=（-1）'=0
所以y''-y'=0-（-1）=1，满足微分方程，所以是方程的一个解。
而通解的定义是解中包含独立的任意常数个数与该方程的阶数相同。
该解只有一个任意常数，方程为二阶，故不是通解。