Question

级数n/2n+1的敛散性？

Answer 1

解题过程如下：

Un=n/（2n-1）

lim（n→∞）Un= (1/n)/[2-(1/n)]=1/2

即n→∞时数列有极限1/2

所以，级数 n/（2n-1）收敛。

性质：

收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。

收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。

Answer 2

级数n/2n+1的敛散性：此级数是发散的。
因为不满足级数收敛的必要条件，即一般项的极限为0。
所以，级数是发散的。
具体 级数n/2n+1的敛散性的判断过程，见上图。

Answer 3

∑n(2n+1)分之1小于∑n^2分之1,两者都是正项级数,∑n^2分之1由Cauchy收敛准则显然收敛,所以由正项级数的比较判别法可知∑n(2n+1)分之1必然收敛