Question

A,B为n阶正定矩阵，则A*B*是否是正定矩阵？为什么？

Answer 1

不一定，A*=|A|A^-1——伴随矩阵等与其行列式乘以它的逆。因此，A*B*的问题转化成了他们的逆矩阵的问题。正定矩阵的逆矩阵仍然是正定矩阵，于是，这道题就相当于问正定矩阵的乘积是否为正定矩阵。

当然很容易证明，正定矩阵的乘积的特征值都是整数。因此有人误以为正定矩阵的乘积正定了。这也是这道题之所以被很多试卷采用的原因之一。

其实，正定矩阵要求三条：第一，实矩阵。第二，对称。第三，特征值都大于零。两个正定矩阵的乘积可以保持第一，第三个条件，唯独很难保证第二个条件。只有当他们相乘可以交换的时候，才可以保证第二个条件。所以，正定矩阵的乘积未必正定。

最后，提醒一下，在处理矩阵的判断题的时候，要先考虑矩阵的乘积特殊性：不为零的乘积为零；乘积是否可以交换。祝你学有所成！