大一高数求解
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考察函数 F(x)＝f(x)cosx，
它在[-π/2，π/2]上连续，二阶可导，
且 F(-π/2)＝F(0)＝F(π/2)，
因此存在 a∈(-π/2，0)和b∈(0，π/2)使
F'(a)＝F'(b)＝0，
所以存在 ξ∈(a，b)包含于(-π/2，π/2)使
F'(ξ)＝0，
由于 F'(x)＝f'(x)cosx - f(x)sinx，
F''(x)＝f''(x)cosx - 2f'(x)sinx - f(x)cosx，
因此 f''(ξ)cosξ - 2f'(ξ)sinξ - f(ξ)cosξ＝0，
解得 f''(ξ)＝f(ξ)＋2f'(ξ)tanξ 。
(注：F''(ξ)＝0，但 F'(ξ)却未必是 0。只能证明到此。如果 F'(ξ)＝0，易得
f'(ξ)＝f(ξ)tanξ 代入可得结果)
它在[-π/2，π/2]上连续，二阶可导，
且 F(-π/2)＝F(0)＝F(π/2)，
因此存在 a∈(-π/2，0)和b∈(0，π/2)使
F'(a)＝F'(b)＝0，
所以存在 ξ∈(a，b)包含于(-π/2，π/2)使
F'(ξ)＝0，
由于 F'(x)＝f'(x)cosx - f(x)sinx，
F''(x)＝f''(x)cosx - 2f'(x)sinx - f(x)cosx，
因此 f''(ξ)cosξ - 2f'(ξ)sinξ - f(ξ)cosξ＝0，
解得 f''(ξ)＝f(ξ)＋2f'(ξ)tanξ 。
(注：F''(ξ)＝0，但 F'(ξ)却未必是 0。只能证明到此。如果 F'(ξ)＝0，易得
f'(ξ)＝f(ξ)tanξ 代入可得结果)
更多追问追答
追问
F'(x)不应该是＋号吗？
追答
cosx 的导数是 - sinx，中间变减号了。
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