Question

高数级数求和函数。

Answer 1

∑[n:1→∞]x^n /4^n =∑[n:1→∞](x/4)^n

显然，当-1<x/4<1时，级数收敛，故收敛区间为(-4,4)

部分和Sn=(x/4)[1-(x/4)^n] /(1- x/4) 

=x[1-(x/4)^n] /(4-x)

故和函数S=lim[n→+∞]Sn

=lim[n→+∞]x[1-(x/4)^n] /(4-x)

=x(1-0)/(4-x)

=x/(4-x)

Answer 2

求∑xⁿ/4ⁿ的收敛域及其和函数
解：ρ=n→∞lim[1/4^(n+1)]/(1/4ⁿ)=n→∞lim[4ⁿ/4^(n+1)]=1/4；
∴收敛半径R=4；收敛域为：-4<x<4；
和函数S(x)=(x/4)/[1-(x/4)]=x/(4-x);

Answer 3

Answer 4

如图所示

追问

-4和4为什么不在区域内啊不是一个等于-1一个等于1吗还是收敛的呀

Answer 5

consider
1/(1-t)= 1+t+t^2+...
t= x/4
∑(n:0->∞) (x/4)^n
=1/(1- x/4)
=4/(4-x)
1 +∑(n:1->∞) (x/4)^n = 4/(4-x)
∑(n:1->∞) (x/4)^n = 4/(4-x) -1 = x/(4-x)
收敛区域 =(-4,4)