Question

f(x)=xe^(-x^2)(x>=0),计算∫(4,1)f(x-2)dx

f(x)=xe^(-x^2)(x>=0),1/(1+cosx)(-1<x<0)计算∫(4,1)f(x-2)dx

Answer 1

令x-2=t。∴∫(1,4)f(x-2)dx=∫(-1,2)f(t)dt=∫(-1,0)f(t)dt+∫(0,2)f(t)dt。
∴∫(1,4)f(x-2)dx=∫(-1,0)dx/(1+cosx)+∫(0,2)xe^(-x²)dx。
而，∫(-1,0)dx/(1+cosx)=∫(-1,0)dx/[2cos²(x/2)=tan(x/2)丨(x=-1,0)=tan(1/2)，∫(0,2)xe^(-x²)dx=(-1/2)e^(-x²)丨(x=0,2)=[1-e^(-4)]/2。
∴原式=tan(1/2)+[1-e^(-4)]/2。
供参考。

追问

谢谢

Answer 2

令 u = x-2
I = ∫<下1，上4>f(x-2)dx = ∫<下-1，上2>f(u)du
= ∫<下-1，上0>du/(1+cosu) + ∫<下0，上2>ue^(-u)du
= ∫<下-1，上0>d(u/2)/[cos(u/2)]^2 - (1/2)∫<下0，上2>e^(-u)d(-u^2)
= [tan(u/2)]<下-1，上0> - (1/2)[e^(-u^2)]<下0，上2>
= arctan(1/2) + (1/2)(1 - 1/e^4)

追问

谢谢

Answer 3

(1)、
已知X的概率密度为f(x)=(α^2)xe^(-αx)，x>0；
0，(其它)
故参数α的矩估计量
=E(X)
= ∫ (上限+∞,下限0) x * f(x) dx
= ∫ (上限+∞,下限0) x^2 * α^2 * e^(-αx) dx
而由分部积分法可以得到，
∫ x^2 * α^2 * e^(-αx) dx
= -αx^2 * e^(-αx) + ∫ 2αx * e^(-αx) dx
= -αx^2 * e^(-αx) - 2x * e^(-αx) + ∫ 2e^(-αx)dx
= -αx^2 * e^(-αx) - 2x * e^(-αx) - 2/a * e^(-αx) +C（C为常数）
故
E(X)
= ∫ (上限+∞,下限0) x^2 * α^2 * e^(-αx) dx
= [ -αx^2 * e^(-αx) - 2x * e^(-αx) - 2/a * e^(-αx) ] 上限+∞,下限0
显然在x趋于+∞时，e^(-αx) 趋于0，
故
E(x)= 2/α = <X> （在这里<X>表示X1，X2，…Xn的平均值）
即参数α的矩估计量为2/<X>
(2)、
构造似然函数
L(x1,x2,…xn,α)=f(x1,α) * f(x2,α) *(fx3,α)*…*f(xn,α)
=(α^2)*x1*e^(-αx1) * (α^2)*x2*e^(-αx2) * …(α^2)*xn*e^(-αxn)
对等式两边同时取对数，
得到
lnL= (2lnα+lnx1 -αx1) + (2lnα+lnx2 -αx2) +…+(2lnα+lnxn -αxn)
=2n*lna +ln(x1*x2*…*xn) - α(x1+x2+…+xn)
用lnL 对α求导，
得到
(d lnL) /dα =2n/α - (x1+x2+…+xn)
令(d lnL) /dα =0，
即得到
2n/α - (x1+x2+…+xn)=0，
即
α = 2n / (x1+x2+…+xn)
= 2 / [(x1+x2+…+xn)/n]
= 2 / <X> （在这里<X>表示X1，X2，…Xn的平均值）
故参数α的最大似然估计量为 2 / <X>