如图,已知点E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,切∠DAE=∠FAE.求证:AF=AD+CF.
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解：已知：ABCD是正方形，点E是边CD的中点，∠DAE=∠FAE
做辅助线EG垂直于AF，点G在AF上，则EG是△AEF的高
因为：△ADE和△AEG，AE=AE，∠DAE=∠FAE，∠AGE=∠ADE=90°
所以：，∠AEG=∠AED，在直角三角形中一边和两角相等，两个三角形全等
所以：△ADE和△AEG全等
所以：AD=AG，DE=EG
点E是CD中点，则DE=EC
所以：DE=EC=EG，
在△EGF和△ECF中EC=EG，EF=EF，∠EGF=∠ECF=90°
在直角三角形中两边相等，那么两个三角形全等。
得到：△EGF和△ECF，所以：GF=CF
AF=AG+GF=AD+CF
做辅助线EG垂直于AF，点G在AF上，则EG是△AEF的高
因为：△ADE和△AEG，AE=AE，∠DAE=∠FAE，∠AGE=∠ADE=90°
所以：，∠AEG=∠AED，在直角三角形中一边和两角相等，两个三角形全等
所以：△ADE和△AEG全等
所以：AD=AG，DE=EG
点E是CD中点，则DE=EC
所以：DE=EC=EG，
在△EGF和△ECF中EC=EG，EF=EF，∠EGF=∠ECF=90°
在直角三角形中两边相等，那么两个三角形全等。
得到：△EGF和△ECF，所以：GF=CF
AF=AG+GF=AD+CF
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