Question

求详细过程 谢谢🙏🏻

Answer 1

14.作PO⊥平面DEF于O,
P-DEF是棱长为2的正四面体，
所以O是△DEF的中心，OE⊥DF,OE=2/√3，
PO=√(PE^2-OE^2)=2√6/3，
分别以OE、过O平行于DF的直线、OP为x,y,z轴建立直角坐标系，则
E(2/√3,0,0），D(-1/√3,-1,0），F(-1/√3,1,0），P(0,0,2√6/3),
DE的中点G为(1/(2√3),-1/2,0),PF的中点H为(-1/(2√3),1/2,√6/3),
向量PG=(1/(2√3),-1/2,0)-(0,0,2√6/3)=(1/(2√3),-1/2,-2√6/3),
DH=(-1/(2√3),1/2,√6/3)-(-1/√3,-1,0）=(1/(2√3),3/2,√6/3），
所以PG*DH=1/12-3/4-4/3=-2,
|PG|=√(1/12+1/4+8/3)=√3，
|DH|=√(1/12+9/4+2/3)=√3，
所以cos<PG,DH>=|PG*DH|/(|PG|*|DH|)=2/3.①对。
DF=(0,2,0),PE=(2/√3,0，-2√6/3),DF*PE=0,②对。
GH=(-1/√3,1，√6/3），PD=(-1/√3，-1，-2√6/3），
GH*PD=1/3-1-4/3=-2,|GH|=√2，|PD|=2,
所以cos<GH,PD>=1/√2，
所以<GH,PD>=45°，③对。
EF=(-√3,1,0），PG*EF=-1/2-1/2=-1,|EF|=2,
cos<PG,EF>=1/(2√3),④错。