Question

用数学归纳法证明:1^2+3^2+...+(2n-1)^2=急,在先等

用数学归纳法证明:1^2+3^2+...+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)/3

Answer 1

首先，当n=1时，
等式左边=1^2=1
右边=1*(2*1-1)(2*1+1)/3=3/3=1
此时等式成立

假设当n=k时有1^2+3^2+...+(2k-1)^2=k(2k-1)(2k+1)/3

现在考虑n=k+1时情形，等式左边为
1^2+3^2+...+(2k-1)^2+[2(k+1)-1 ]^2=k(2k-1)(2k+1)/3 +[2(k+1)-1 ]^2

=k(2k-1)(2k+1)/3 +(2k+1)^2 = k(2k-1)(2k+1)/3 + 3*(2k+1)^2/3

=[k(2k-1)(2k+1)+3*(2k+1)^2]/3

=（2k+1）[k(2k-1)+3*(2k+1)]/3

=（2k+1）[2k^2-k+6k+3]/3

下面的 目标是证明上面结果等于右边(k+1)(2k+1)(2k+3)/3

这是显然的

所以，综上，本题得证

Answer 2

解1) 易知在n=1时命题成立；
2）设n=k时命题成立即有1^2+3^2+…+（2k-1）^2=k(2k-1)(2k+1)/3；
则当n=k+1时1^2+3^2+…（2k-1）^2+(2k+1）^2=k(2k-1)(2k+1)/3+（2k+1）^2=(k+1)(2k+1）（2k+3）/3 故知命题对n=k+1也成立 终上所述 1^2+3^2+...+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)/3 成立