Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．

Answer 1

1）证明：设圆心即AC中点为0，
因为圆O与AB交于D，所以DO为半径等于AO，所以∠A=∠ADO
∠COD=∠A+∠ADO（外角等于不相邻的两个内角只和）因为E为BC中点，
所以OE为三角形的中线，所以OE平行于AB，所以∠COE=∠A
因为∠COD=∠COE+∠DOE，所以∠COE=∠DOE，因为oc=od，所以三角形COE与三角形DOE全等，所以∠OCE=∠ODE=90°，所以ED⊥OD，所以DE是园O的切线
2）EF⊥DE，DE⊥DO，所以FE平行于DO，因为OE为中线，所以OE平行于AB，所以ODFE为平行四边形，所以DF=OE=½AB=2.5（AB根据勾股定理算出等于5）

Answer 2

连结od、oe
⑴∵ac是直径
∴∠cdb＝∠adc＝90°
∵e是bc的中点
∴de＝1/2bc＝ce
∵od＝oc，oe＝oe
∴△ode≌△oce
∴∠ode＝∠oce＝90°
∴de是⊙o的切线
⑵易得ab＝8
又△bcd∽△bac
∴bc/ba＝bd/bc
∴4√3/8＝bd/4√3
∴bd＝6
∵o是ac的中点，e是bc的中点
∴oe是△abc的中位线
∴oe＝1/2ab＝4，oe∥ab
∴ef∶fd＝oe∶bd＝4∶6＝2∶3