Question

f(x+y)=f(x)+f(y)是什么函数/

Answer 1

若f(x)是连续函数或者至少f(x)在x=0点连续，则f(x)是线性函数f(x)=x*f(1)。

线性函数是指那些线性的函数，但也常用作一次函数的别称，尽管一次函数不一定是线性的。线型函数是一个比较恰当的同义词。

在初级代数与解析几何，线性函数是只拥有一个变量的一阶多项式函数，又或者是常数函数。因为，采用直角坐标系，这些函数的图象是直线，所以，这些函数是线性的。要注意的是，与x轴垂直的直线不是线性函数。（因为输入值不对应唯一输出值，所以它不符合函数的定义）。

在线性代数里，线性函数是一个线性映射。

设V和W是在相同域K上的向量空间。函数f : V→W被称为是线性映射，如果对于V中任何两个向量a和b与K中任何标量k。

Answer 2

若f(x)是连续函数或者至少f(x)在x=0点连续，则f(x)是线性函数f(x)=x*f(1)。
首先，f(0)=0（令y=0），对任意自然数n，f(nx)=f((n-1)x)+f(x)=……=nf(x)，又因为0=f(0)=f(nx)+f(-nx)，所以f(-nx)=-n*f(x)，即对任意整数n，f(nx)=nf(x),令z=nx，则f(z)=n*f(1/n*z)，即f(1/n*z)=1/nf(z)。
所以，f(n)=n*f(1)，f(1/n)=1/nf(1)。
f(m/n)=m*f(1/n)=m/nf(1)，即对所有有理数x，都有f(x)=xf(1)。
对任意实数x，x是一列有理数的极限，假设x=lim
xn，xn是有理数。所以f(x)-lim
f(xn)=lim
f(x)-f(xn)=lim
f(x-xn)=0,
所以f(x)=lim
f(xn)=lim
xnf(1)=f(1)lim
xn=xf(1)。

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示