Question

求正交变换X=PY，化二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形. 我想问这个二次型的矩阵是怎么

Answer 1

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的实对称矩阵为
a=[(0,1,1)t,(1,0,1)
t,(1,1,0)
t];下面将其对角化：
先求a的特征值，由|ke-a|=|(k,-1,-1)
t,(-1,k,-1)
t,(-1,-1,k)
t
|=（k-2）*（k+1）^2=0
解得：k=2或k=-1（二重）。
下求方程（ke-a）z=0的解向量
对特征值k=2，（2e-a）z=0解得特征向量z=(1，1，1)t，
单位化α1=(1/√3,
1/√3,
1/√3)
t.
对特征值k=-1，（-e-a）z=0解得特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t，
schmidt正交化得
α2=（1/√2,-1/√2,0）t,α3=(1/√6,1/√6,-2/√6)
t,
取正交矩阵p=(α1,α2,α3)
=[
(1/√3,
1/√3,
1/√3)
t,
（1/√2,-1/√2,0）t,(1/√6,1/√6,-2/√6)
t]
则有ptap=diag（2，-1，-1）.
对二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3=xtax作正交变换x=py得
f（x）=yt(qtaq)y=2y1^2-y2^2-y3^2.
得到标准型f（y），p为所求正交变换。
t代表对矩阵或向量的转置。
建议找本线性代数的书看看，实际上就是实对称矩阵的对角化。过程比较繁琐，建议检验一下。

Answer 2

二次型
f
(x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3
的矩阵是
A=
[
0
-1
1]
[-1
0
1]
[
1
1
0]
解得特征值
λ=1，1,
-2.
对应特征向量分别为
(1，-1,
0)^T,
(1，0,
1)^T,
(1，1,
-1)^T.
前两个正交化，得
(1，-1,
0)^T,
(1/2，1/2,
1)^T,
再单位化，得
(1/√2，-1/√2,
0)^T,
(1/√6，1/√6,
2/√6)^T,
第3个单位化，得(1/√3，1/√3,
-1/√3)^T
则正交矩阵
P=
[
1/
√2
1/
√6
1/√3]
[-1/
√2
1/
√6
1/√3]
[
0
2/
√6
-1/√3]
使得
P^T*AP=diag(1,
1,
-2)，
即
f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2.