Question

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC.E,F是斜边BC上的两点，且∠EAF=45°。试问：

以BE,EF,FC三条线段为边的正方形面积间有何关系，证明你的结论。

Answer 1

你好：此题暂时没有想到简单点儿的方法，想了很多都不通，只能硬解了，过程如下：

过A作BC边上的高AH，易知AH=BH=CH,

设∠BAE=α,则易得∠FAH=α,∠EAH=π/4-α,

则

BE

=BH-EH

=AH-AH*tan(π/4-α)

=AH-AH[(1-tanα)/(1+tanα)]

=AH*[2tanα/(1+tanα)],

CF

=CH-AHtanα

=AH(1-tanα),

EF

=AH*[tanα+tan(π/4-α)]

=AH*(1+tan²α)/(1+tanα),

∴BE²+CF²

=AH²{(1-tanα)²+[(2tanα)/(1+tanα)]²}

=AH²[(1+tan²α)²/(1+tanα)²]

=[AH*(1+tan²α)/(1+tanα)]²

=EF²，

即BE²+CF²=EF²，

以BE,CF,EF为边的正方形的面积就是BE²,CF²和EF²，所以

以BE和CF为边的正方形的面积之和等于以EF为边的正方形的面积，

如果还于好方法，欢迎交流！

谢谢！

Answer 2

分析:本题可作为动点题来作答
证明:在三角形ABC中,设点E与点B重合,
','角BAC=90度,三角形ABC为等腰三角形
,',角B=角C=45度
当E与点B重合时,由于角AEF=角EAF,
所以角AFE=90度 即AF垂直BC于点F
由于三角形ABC是等腰三角形
所以AF垂直平分BC,则EF=CF
','点E与点B重合
,',BE=BE2=0
又','EF=CF
,',CF2＝EF2
,',BE2＋CF2＝EF2 怎么有人和我做的一模一样啊=。=而且我的还晚了点 10年9月11好发上来的，刚刚加的这一句