Question

在一个三角形中，已知一边一角，如何求另外两边和的取值范围？

Answer 1

分两种情况，已知一角以及这个角的一条邻边，这种情况既无最大值，也无最小值。
已知一角，以及这个角所对的边，有最大值，无最小值。
下面用图形说明，自己画图跟着下面分析。
设△ABC中，A，B，C所对应的边分别为a，b，c。
（1）已知A和b，求a+c范围，由于AB的长度不确定，当AB很越短，a+c接近b，此时a+c越小，在AB点取一点D，显然AB+BC=AD+DB+BC>AD+DC，这就证明了B越靠近A，a+c越小，B越远离A，a+c越大，所以a+c无最值。
（2）已知A和a，求b+c的范围。由余弦定理，得a²=b²+c²-2bc·cosA，由于b²+c²=(b+c)²-2bc，代入可得a²=(b+c)²-2bc(1+cosA)，再用不等式，得√(bc)≤(b+c)/2，得bc≤(b+c)²/4，所以
-2bc(1+cosA)≥-(b+c)²(1+cosA)/2，（因为-(1+cosA)<0），
所以a²=(b+c)²-2bc(1+cosA)≥(b+c)²-(b+c)²(1+cosA)/2=(b+c)²(1-cosA)/2，即
a²≥(b+c)²(1-cosA)/2，所以(b+c)²≤2a²/(1-cosA)，即得b+c≤a√[2/(1-cosA)]，当b=c时，b+c最大，
b+c没有最小值，证法同（1）一样。