Question

已知fx是奇函数,gx是偶函数且fx-gx=1/（x+1）求fx和gx

Answer 1

（1）解：∵
f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
∴
f（-
x）=
-
f（x），g（-
x）=
g（x）
∵
f（x）-
g（x）=
1
/
（x
+
1）
①
∴
f（-
x）-
g（-
x）=
1
/（1
-
x）
-
f（x）-
g（x）=
1
/
（1
-
x）
f（x）+
g（x）=
1
/
（x
-
1）
②
①
+
②
得：
2
f（x）=
1
/
（x
+
1）
+
1
/
（x
-
1）
=
（x
-
1）
/（x
+
1）（x
-
1）+
（x
+
1）/（x
+
1）（x
-
1）
=
（x
-
1
+
x
+
1）/
（x
+
1）（x
-
1）
=
2
x
/（x
²
-
1）
∴f（x）=
x
/
（x
²
-
1）
代入
②
得：x
/
（x
²
-
1）+
g（x）=
1
/
（x
-
1）
∴
g（x）=
1
/
（x
-
1）-
x
/（x
²
-
1）
=
（x
+
1）/（x
+
1）（x
-
1）-
x
/（x
+
1）（x
-
1）
=
（x
+
1
-
x）/（x
+
1）（x
-
1）
=
1
/
（x
²
-
1）
∴
f（x）=
x
/
（x
²
-
1）
，g（x）=
1
/
（x
²
-
1）
（2）解：①
∵
f（x）
=
x【
1
/
（x
²
-
1）
+
1
/
2
】
∴
x
²
-
1
≠
0
x
²
≠
1
x
≠
±
1
∴
定义域为：｛x丨x
≠
±
1｝
②
f（x）是奇函数
证明：∵
f（-
x）=
-
x
【
1
/
（（-
x）
²
-
1）+
1
/
2
】
=
-
x
【
1
/
（x
²
-
1）+
1
/
2
】
=
-
f（x）
又∵
f（0）=
0
（1
/
（0
²
-
1）+
1
/
2
）
=
0
∴
f（x）是奇函数