Question

椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝63. (1)求椭圆的方程； (2)直线l：y＝kx－2

椭圆方程为x2/a2＋y2/b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝根号6/3
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N满足MP→＝PN→，AP→•MN→＝0，求k.

Answer 1

1、一个顶点为（0,2），肯定是在y轴的上顶点，即得到b=2。又因为e=c/a=根号6/3和a^2-b^2=c^2.联立上述方程可以解得a=2根号3。所以方程就是x^2/12+y^2/4=1.
2、MP→＝PN→可以知道点P为MN中点，而AP→•MN→＝0说明AP⊥MN，即AP为MN中垂线，也就是保证AM=AN即可。设M、N的坐标分别为（x1，y1）和（x2,y2）.则AM^2=x1^2+(y1-2)^2=x1^2+(kx1-4)^2,同理AN^2=x2^2+(kx2-4)^2.所以x2^2+(kx2-4)^2=x1^2+(kx1-4)^2，x1^2-x2^2=(kx2-4)^2-(kx1-4)^2.最终化简得到x1+x2=-k[k(x1+x2)-8].将直线与椭圆联立消去y得到（3k^2+1）x^2-12kx=0,根据韦达定理得x1+x2=12k/(3k^2+1),将其代入上式可解得k=±1/3.