Question

线性代数问题 证明上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵 在上三角矩阵存在逆矩阵的情况下

Answer 1

设P为上三角矩阵,Q不是；且Q是P的逆矩阵.由Q不是上三角矩阵,存在i>j使得Q(ij)≠0.取Q的第j列中最下面一个非零元,假设在第l行（则l>=i>j）,则Q(lj)≠0,且对任意k>l有Q(kj)=0.所以
(PQ)(lj)=∑_k P(lk)Q(kj)=∑_{k l} P(lk)Q(kj)
由P为上三角矩阵,当k l时总有Q(kj)=0,所以第三项等于0；所以只剩下第二项,即
(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)
P(ll)是可逆上三角矩阵P的对角元,所以P(ll)≠0；由l的取法知Q(lj)≠0.所以(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)≠0（l>j）.但由假设,Q是P的逆矩阵,所以PQ为单位矩阵,特别地是对角矩阵,和(PQ)(lj)≠0（l>j）矛盾.所以假设不成立,Q一定是上三角矩阵