Question

一道初二的数学题目，急急急。

三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE不与AB垂直，而三角形BDE之周长等于AB的长。若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由。

Answer 1

当DE恰与AB垂直时
设DE=1，则EB=1,BD=√2
由三角形ADE全等于ADC可知CD=DE=1
则BC=BD+CD=1+√2
所以AB=√2BC=√2+2
此时恰有AB=DE+EB+BD

由题DE不与AB垂直
当E位于垂直点靠近A点的一边时
三角形BDE的周长将变大
当E位于垂直点靠近B点的一边时
三角形BDE的周长将变小
而E不能取垂直点
故点E不存在

Answer 2

应该不存在，
只有当DE⊥AB时，才可能存在。

Answer 3

不存在
过点D做DF⊥AB交AB于F点
由角平分线性质知CD=DF
△ACD≌△AFD
AE=AC=BC
△BDF边长为BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB
E在F上方时，BE＞BF DE＞DF三角形周长变长大于AB
E在F下方时，在AB上截取AG=BD，则有GF=DF
△BDE周长为BD+DE+BE=AG+BE+DE＜AG+BE+DF+FE（三角形两边之和大于第三边）=AB
所以不存在这样的E

Answer 4

DE=1，则EB=1,BD=√2
由三角形ADE全等于ADC可知CD=DE=1
则BC=BD+CD=1+√2
所以AB=√2BC=√2+2
此时恰有AB=DE+EB+BD

由题DE不与AB垂直
当E位于垂直点靠近A点的一边时
三角形BDE的周长将变大
当E位于垂直点靠近B点的一边时
三角形BDE的周长将变小
所以点E应当不存在哦！！