Question

证明圆内接三角形面积最大时是正三角形

Answer 1

证明过程如下：

设三角形ABC外接圆半径为r，则 

S三角形ABC

=（1/2)absinC

=2r^2sinAsinBsinC

<=2r^2[(sinA+sinB+sinC)/3]^3（均值不等式）

<=2r^2{sin[(A+B+C)/3]}^3=(3√3/4)r^2（琴生不等式） 

等号当sinA=sinB=sinC,即A=B=C时成立，所以当三角形为正三角形时面积最大。

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扩展资料：

等边三角形（正三角形）的性质：

（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。（三线合一）

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）

（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）

（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）

Answer 2

对于圆内接任意一个三角形，当固定一边时，在这个边的同一侧，如果另外两边长相等时三角形的面积，一定大于另外两边不相等时的面积。即固定边为底，在底边的同一侧，内接等腰三角形的面积要大于非等腰三角形的面积。
得到一个等腰三角形后，再以一个腰为底，再构造新的等腰三角形，这个新等腰三角形的面积会更大一点。依此类推，不断这样构造，会无限接近于等边三角形。
严格的证明过程要这样：首先要证明，对于任意一个非等腰三角形，总可以找到一个等腰三角形的面积比它大；其次再证明任何一个等腰三角形的面积一定小于等边三角形。这两个命题均好证，具体过程我就不写了。

Answer 3

设三角形ABC外接圆半径为r，则
S三角形ABC=（1/2)absinC=2r^2sinAsinBsinC<=2r^2[(sinA+sinB+sinC)/3]^3（均值不等式）<=2r^2{sin[(A+B+C)/3]}^3=(3√3/4)r^2（琴生不等式）
等号当sinA=sinB=sinC,即A=B=C时成立，所以当三角形为正三角形时面积最大。