已知函数f(x)=x/(ax+b)(a,b为常数,a≠0)满足f(2)=1,且方程f(x)=x有唯一解

(1)求f(x)的解析式(2)若xn=f(xn-1),且x1>0(n∈N,n≥2),求证:数列{1/xn}为等差数列,并求xa... (1)求f(x)的解析式
(2)若xn=f(xn-1),且x1>0(n∈N,n≥2),求证:数列{1/xn}为等差数列,并求xa
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henryhao123
2010-09-09 · TA获得超过1289个赞
知道小有建树答主
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解:
(1)
f(x)=x/(ax+b)
∵f(2)=1,
∴2a+b=2
又∵方程f(x)=x有唯一解
x/(ax+b)=x
即(x-ax^2-bx)/(ax+b) =0有唯一解
即x(ax+b-1)=0有唯一解
显然只能是x=0
那么只需b-1=0
∴b=1
∵2a+b=2
∴a=1/2
则f(x)=x/(0.5 x+1)
(2)
Xn=f(Xn-1) (这个写法xn=f(xn-1)会产生歧义,以后注意啊)
Xn=2Xn-1 / (Xn-1 +2) (n≥2)
则1/Xn =1/2 +1/Xn-1
即(1/Xn) -(1/Xn-1) =1/2 (常数) (n≥2)
∴{1/xn}为A.P (n≥2)
则1/Xn =1/X2 + (1/2)*(n-2)
又 1/X2 =1/2 +1/X1
即1/Xn =1/X1 + (1/2)*(n-1)
将X1代入,显然成立
∴数列{1/xn}为A.P,n∈N+
Xa=X(1/2)=1/X1 -1/4
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