Question

a,b是正实数，并且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4

Answer 1

（a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2

Answer 2

乘出来通分，得到ab+a^2/ab+b^2/ab+1/ab,合并同类项将a^2+b^2换成（a+b)^2-2ab,然后得到关于ab为自变量的式子。因为a+b=1所以根据均值不等式，ab的范围为小于等于1/4，再根据双勾函数的性质ab在1/4时整个式子取最小值，代入就行了。