Question

二项式定理题(谢谢各位大哥大姐)

证明: (x-1/x)^2n的展开式中常数项是(-2)^n*1*3*5*7……*(2n-1)/n!

Answer 1

证明[X-1/X]的2N次方的展开式中常数项是[-2]的N次方*[1*3*5*...*2N-1]/N的
阶乘
关键是[-1]的N次方*C2N[N]后的证法
证明：(x-1/x)^2n的常数项为中间的一项所以=C(2n)(n)*x^n*(-1/x)^n
=(-1)^n*C(2n)(n)
所以就是证明：C(2n)(n)=2^n*1*3*...*(2n-1)/n!
1*3*5*...*(2n-1)
=1*2*3*...*(2n)/(2*4*6*...*2n)
=(2n)!/(2^n*1*2*3*...*n)
=(2n)!/((2^n)*n!)
所以2^n*1*3*...*(2n-1)/n!
=2^n*(2n)!/((2^n)*n!)/n!
=(2n)!/(n!*n!)
=2n*(2n-1)*...*(n+1)/n!
=C(2n)(n)