Question

高等数学，微分方程求特解

Answer 1

答案是a。
根据线性方程的叠加原理，原非齐次线性方程的特解是y''+y=x^2+1的特解与y''+y=sinx的特解之和。
因为0不是特征方程的根，所以y''+y=x^2+1的特解设为ax^2+bx+c。
因为±i是特征方程的单根，所以y''+y=sinx的特解设为x(acosx+bsinx)。
所以，原非齐次线性方程的特解设为ax^2+bx+c+x(acosx+bsinx)。

Answer 2

特征方程
r^2+1
=
0,
r
=
±
i
对于非齐次项
e^x
,
特解设为
y
=
ae^x,
代入微分方程
y''
+
y
=
e^x,
得
a
=
1/2.
对于非齐次项
cosx
,
特解设为
y
=
x(pcosx+qsinx),
代入微分方程
y''
+
y
=
cosx,
得
p
=
0,
q
=
1/2.
则特解是
y
=
(1/2)e^x+(1/2)xsinx