Question

求微分方程y"+3y'+2y=xe^(-x)的通解

Answer 1

欢迎采纳，不要点错答案哦╮(╯◇╰)╭
给你一个没这麼难的算法，设特解那个方法太繁复了

Answer 2

y''-3y+2y=0的特征方程为r^2-3r+2=0,r=1,2
齐次方程通解为c1e^x+c2e^(2x)
因为1是根，故设特解y*=x(ax+b)e^x
y*
'=(2ax+b)e^x+x(ax+b)e^x=(ax^2+(2a+b)x+b)e^x
y*
''=(2ax+2a+b)e^x+(ax^2+(2a+b)x+b)e^x=(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x
代入得：(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x-3(ax^2+(2a+b)x+b)e^x+2x(ax+b)e^x=xe^x
4a+b-3(2a+b)+2b=1
2a+2b-3b=0
通解为：y=c1e^x+c2e^(2x)+x(ax+b)e^x
有事情。自己求出ab

Answer 3

你这是一个二阶
常微分方程
特征方程
a^2+3a+2=0
解得
特征根
a=-1
a=-2
所以
齐次方程
y"+3y'+2y=0
的通解~y=C1*e^(-x)+
C2*e^(-2x)
C1,C2为任意常数
应为-1为特征根所以设
特解得形式为
y*=x(Ax+B)e^(-x)
y*'=(2Ax+B)e^(-x)-(Ax^2+Bx)e^(-x)=(-Ax^2-Bx+2Ax+B)e^(-x)
y*''=(-2Ax-B+2A)e^(-x)-(-Ax^2-Bx+2Ax+B)e^(-x)=(Ax^2+Bx-4Ax-2B+2A)e^(-x)
代入原方程解得A=1/2
B=-1
所以特解y*=[(1/2)x^2-x]e^(-x)
所以通解y=~y+y*=C1*e^(-x)+
C2*e^(-2x)+[(1/2)x^2-x]e^(-x)
C1,C2为任意常数