Question

求由曲线x2+y2=丨x丨+丨y丨所围成的图形的面积

Answer 1

分象限讨论:
(1).当x≥0,y≥0时,曲线方程为x^2+y^2=x+y,→x^2+y^2-x-y=0,
即(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=(√2/2)^2,
图形是以(1/2,1/2)为圆心,√2/2为半径的圆在第一象限的部分
(2).当x≤0,y≥0时,曲线方程为(x+1/2))^2+(y-1/2)^2=(√2/2)^2
图形是以(-1/2,+1/2))为圆心,√2/2为半径的圆在第二象限的部分
(3).当x≤0,y≤0,曲线方程为(x+1/2))^2+(y+1/2)^2=(√2/2)^2
图形是以(-1/2,-1/2)为圆心,√2/2为半径的圆在第三象限的部分
(4).当x≥0,y≤0,曲线方程为(x-1/2))^2+(y+1/2)^2=(√2/2)^2
图形是以(1/2,-1/2)为圆心,√2/2为半径的圆在第四象限的部分
故原曲线方程围成图形的面积S等于上述四个圆的面积减去8个弓形的面积,即
S=4*π*(√2/2)^2-8×(π-2)/8=π+2

Answer 2

|x|²-|x|+|y|²-|y|=0

只看第一象限的面积，然后*4即可

(|x|-1/2)²+(|y|-1/2)²=(√2/2)²

与x,y轴交点为(1,0),(0,1)

所以围成的图形为半个圆再加上一个直角三角形

面积为π*(√2/2)²+(1/2)*1*1=(π+1)/2

*4，所以总面积为2π+2