Question

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4

Answer 1

（1）设甲、乙所取的最少纸牌张数分别为M、N则M=15(4一k)；
N=6+16（6一k）那么M、N均是关于K的一次减函数。
(2)因k是常数，且0<k<4，K是整数。则K=3时，M、N的最小值分别是15、
54。
（3）又最终两人所取牌的总张数恰好相等，则N取最小值54时，甲每次可取4张或(4一3）=1张，那么甲取15次能够使其张数为54.
（4）那么纸牌最少有54×2=108（张）
第一种解法。
设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙（17-b）次取6张，
则甲取牌（60-ka）张，乙取牌（102-kb）张
则总共取牌：N=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162，
从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，
由题意得，a≤15，b≤16，
又最终两人所取牌的总张数恰好相等，
故k（b-a）=42，而0＜k＜4，b-a为整数，
则由整除的知识，可得k可为1，2，3，
①当k=1时，b-a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
②当k=2时，b-a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
③当k=3时，b-a=14，此时可以符合题意，
综上可得：要保证a≤15，b≤16，b-a=14，（a+b）值最大，
则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，
继而可确定k=3，（a+b）=18，
所以N=-3×18+162=108张．
故答案为：108．
第二种解法。请采纳
希望采纳

Answer 2

设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙（17-b）次取6张，
则甲取牌（60-ka）张，乙取牌（102-kb）张
则总共取牌：n=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162，
从而要使牌最少，则可使n最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，
由题意得，a≤15，b≤16，
又最终两人所取牌的总张数恰好相等，
故k（b-a）=42，而0＜k＜4，b-a为整数，
则由整除的知识，可得k可为1，2，3，
①当k=1时，b-a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
②当k=2时，b-a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；
③当k=3时，b-a=14，此时可以符合题意，
综上可得：要保证a≤15，b≤16，b-a=14，（a+b）值最大，
则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，
继而可确定k=3，（a+b）=18，
所以n=-3×18+162=108张．
故答案为：108．