变限积分求导法!例题

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隋若云暨英
2019-10-31 · TA获得超过3.4万个赞
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d/dx
∫(0→x)
(x-t)f'(t)
dt
=
d/dx
∫(0→x)
[xf'(t)
-
tf'(t)]
=
d/dx
{∫(0→x)
xf'(t)
dt
-
∫(0→x)
tf'(t)
dt}
=
d/dx
x∫(0→x)
f'(t)
dt
-
d/dx
∫(0→x)
tf'(t)
dt
第一积分的值很好算,有:
∫(0→x)
f'(t)
dt
=
f(x)
-
f(0)
而假设第二个积分中,被积函数的原函数是g(t),即:
g'(t)
=
t
f'(t)
则:
∫(0→x)
tf'(t)
dt
=
g(x)
-
g(0)
所以原式为:
d/dx
[xf(x)
-
xf(0)]
-
d/dx
[g(x)-g(0)]
对x微分,不含x的部分作常数处理,得:
xf'(x)
+
f(x)
-
f(0)
-
g'(x)
又由函数g的定义,得到:
=
xf'(x)
+
f(x)
-
f(0)
-
x
f'(x)
=
f(x)
-
f(0)
其实你给的过程也就是大致按照这种方法,只不过它很早就做了微分,而且比较抽象,所以看起来晕罢了。我则是先整理了式子,然后才做的微分,你可以看到,我的做法跟答案一样,也是约掉了xf'(x)的,所以本质上是一样的。而也许我这样做你会比较好理解。
另外我引入到了函数g(t),但是不必怀疑它是否连续可导,因为有函数tf'(t)存在。至于规范过程的话,还是按照你的过程,写个很抽象的东西就好了,不必引入新东西,然后再去讨论他连续可导。
还不明白的话欢迎补充提问。^_^
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遇曼云石濮
2019-12-11 · TA获得超过3万个赞
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n如果是积分下限〔∫0到n(a*n^2+b*n+c*n*x+d*x+e)*p(x)*dx
〕’下面省略“0到n”
=〔a*n^2*∫p(x)dx+b*n∫p(x)dx+c*n*∫x*p(x)dx+∫(d*x+e)*p(x)dx〕’
=2a*n*∫p(x)dx
+
a*n^2*p(n)
+
b*∫p(x)dx
+
b*n*p(n)+
c*∫x*p(x)dx
+
c*n*p(n)+
(d*n+e)*p(n)
将积分范围改为n到负无穷,则求导结果是上面的相反数,则求导结果与上式相同,n如果是积分上限
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