Question

变限积分求导法!例题

Answer 1

d/dx
∫(0→x)
(x-t)f'(t)
dt
=
d/dx
∫(0→x)
[xf'(t)
-
tf'(t)]
=
d/dx
{∫(0→x)
xf'(t)
dt
-
∫(0→x)
tf'(t)
dt}
=
d/dx
x∫(0→x)
f'(t)
dt
-
d/dx
∫(0→x)
tf'(t)
dt
第一积分的值很好算，有：
∫(0→x)
f'(t)
dt
=
f(x)
-
f(0)
而假设第二个积分中，被积函数的原函数是g(t)，即：
g'(t)
=
t
f'(t)
则：
∫(0→x)
tf'(t)
dt
=
g(x)
-
g(0)
所以原式为：
d/dx
[xf(x)
-
xf(0)]
-
d/dx
[g(x)-g(0)]
对x微分，不含x的部分作常数处理，得：
xf'(x)
+
f(x)
-
f(0)
-
g'(x)
又由函数g的定义，得到：
=
xf'(x)
+
f(x)
-
f(0)
-
x
f'(x)
=
f(x)
-
f(0)
其实你给的过程也就是大致按照这种方法，只不过它很早就做了微分，而且比较抽象，所以看起来晕罢了。我则是先整理了式子，然后才做的微分，你可以看到，我的做法跟答案一样，也是约掉了xf'(x)的，所以本质上是一样的。而也许我这样做你会比较好理解。
另外我引入到了函数g(t)，但是不必怀疑它是否连续可导，因为有函数tf'(t)存在。至于规范过程的话，还是按照你的过程，写个很抽象的东西就好了，不必引入新东西，然后再去讨论他连续可导。
还不明白的话欢迎补充提问。^_^

Answer 2

n如果是积分下限〔∫0到n（a*n^2+b*n+c*n*x+d*x+e)*p(x)*dx
〕’下面省略“0到n”
＝〔a*n^2*∫p(x)dx＋b*n∫p(x)dx＋c*n*∫x*p(x)dx＋∫(d*x+e)*p(x)dx〕’
＝2a*n*∫p(x)dx
+
a*n^2*p(n)
+
b*∫p(x)dx
+
b*n*p(n)+
c*∫x*p(x)dx
+
c*n*p(n)+
(d*n+e)*p(n)
将积分范围改为n到负无穷，则求导结果是上面的相反数，则求导结果与上式相同，n如果是积分上限