Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1)

Answer 1

f(x)在(0,1)上连续可导，则f'(x)在(0,1)上连续.
因为f(0)>0
f(1/2)<0
f(1)>0,那么在（0，1）内存在e
使f(x)在(0,e)上递减，而在（e，1）上递增。
根据在递增区间导数为正，在递减区间导数为负，因此
f'(x)在(0,e)上小于0，而在（e，1）上大于0
又因为f'(x)在e点连续，所以必有f'（e）＝0。

Answer 2

设F(x)=f(x)-f(x+1/2),则：F(1/2)=f(1/2)-f(1)；F(0)=f(0)-f(1/2)，所以F(1/2)+F(0)=0，可知F(1/2)和F(0)异号，由连续函数的零点存在定理知：必存在x0∈[0,1/2]，使得F(x0)=0，即f(x0)=f(x0+1/2)
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