Question

已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12 令bn=an*3^n,求{bn}的前n项和

Answer 1

解：
本题考察的是等差中项的概念。
因为数列{an}是等差数列，因此：
a1+a2+a3=(a1+a3)+a2=2a2+a2=3a2=12
∴a2=4
设该等差数列的公差为d，则：
d=a2-a1=4-2=2
因此：
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)*2=2n
bn=an*3^n=(2n)*(3^n)
令数列{bn}的前n项和为Sn，则：
Sn
=2*3+4*3²+6*3³+.....+(2n)*(3^n)......................(1)
(1)×3，得：
3Sn=
2*3²+4*3³+6*3^4+.....+(2n)*[3^(n+1)]...........(2)
(1)-(2)，得：
-2Sn=2*3+2*3²+2*3³+2*3^4+2*(3^n)
-
(2n)*[3^(n+1)]
-2Sn=2(3+3²+....+3^n)
-
(2n)*[3^(n+1)]
-2Sn==2*[3(3^n-1)/2]
-
(2n)*[3^(n+1)]
Sn=n*[3^(n+1)]
-
(3/2)(3^n-1)
∴
Sn=3/2
+(n-1/2)*[3^(n+1)]

Answer 2

设d是公差
由a1+a2+a3=12知d=2
an=a1+(n-1)d=2n
bn=2n*3^n
又设sn=b1+b2+...+bn
注意到3*b(n-1)=bn-2*3^n
(关键一步，必须理解)
那么3*sn=sn
+
b(n+1)
-
2*3^(n+1)-2*3^n-2*3(n-1)-...-2*3^2
-
b1
上式中只有sn是未知的，移项解出即可
中间我省略了一步，因为打字比手写要麻烦得多。你得自己把那个关键的结果代入，过程类似于课本上等比数列求和公式的推导——“错位相减”