Question

在三角形ABC中，AC=BC，角C=90度，E为BC上的一点，BD垂直AE交于AE的延长线于D，连接CD，求证角ADC=45度。

Answer 1

证明：∵CA=CB,∠ACB=90°,(已知),
∴∠ABC=45°.(等腰直角三角形的底角是45度),
又∵∠ACB=90°=∠ADB,(已知),
∴ABDC四点共圆，(圆周角相等的逆定理),
∴∠ADC=∠ABC=45°.(圆周角相等).

Answer 2

作CF⊥CD,交AD于F.
∵∠ACB=∠FCD=90°.
∴∠ACF=∠BCD;
又∵∠AEC=∠BED(对顶角相等).
∴∠CAF=∠CBD.(同角的余角相等)
又AC=BC,则:⊿ACF≌⊿BCD(ASA),CF=CD.
故:∠FDC=∠DFC=45°,即∠ADC=45°

Answer 3

∵AC=BC;∠ACB=90°.
∴∠ABC=∠BAC=45°.
∵∠ACB=∠ADB=90°.
∴点A,B,D,C在以AB为直径的同一个圆上.
故:∠ADC=∠ABC=45°.(同弧所对的圆周角相等)