Question

问一道数列与导数综合的题目，谢谢!

题目见图，第(1)小问就不用回答了，两个根应该是(-1+根号5)和(-1-根号5);看到知道里面有人问过一样的题，可是 解答不完全， 我也看不懂，希望能自己回答不要抄那个解答，谢谢! 希望解答过程能用word里面的mathtype或者其他能打公式的软件打出来，这样过程看得很清楚，如果不会弄这些直接打也希望关于分数的写的清楚些，哪个是分子哪个是分母都用括号括清楚，谢谢大家了!

Answer 1

(1)f(x)=x²+x-1=0
解得α=(-1+√5)/2
β=(-1-√5)/2
(2)
a(n+1)=an-f(an)/f'(an)=an-(an²+an-1)/(2an+1)
=(an²+1)/(2an+1)
用数学归纳法
[1]
当n=1时
a1=1>α
n=2时
a2=(a1²+1)/(2a1+1)=2/3>α
[2]
设n=k时
ak>α成立
[3]
n=k+1时
a(k+1)=(ak²+1)/(2ak+1)
=(1/4)[2ak-1+5/(2ak+1)]
=(1/4)[(2ak+1)+5/(2ak+1)-2]
>(1/4){2√[(2ak+1)*5/(2ak+1)]-2}
=(1/4)(2√5-2)
=(√5-1)/2
=α
(注:等号成立时，(2ak+1)²=5
解得ak=(√5-1)/2=α，但ak>α，所以取消等号)
(3)
由已知f(x)=0的两根为α，β
则α²+α-1=0
1-α=α²
β²+β-1=0
1-β=β²
所以a(n+1)-α=(an²+1)/(2an+1)-α=(an²+1-2αan-α)/(2an+1)
=(an²-2αan+1-α)/(2an+1)
=(an²-2αan+α²)/(2an+1)
=(an-α)²/(2an+1)
(1)
a(n+1)-β=(an²+1)/(2an+1)-β=(an²+1-2βan-β)/(2an+1)
=(an²-2βan+1-β)/(2an+1)
=(an²-2αan+β²)/(2an+1)
=(an-β)²/(2an+1)
(2)
(2)÷(1)
[a(n+1)-β]/[a(n+1)-α]=(an-β)²/(an-α)²=[(an-β)/(an-α)]²
由此可顺推(an-β)/(an-α)={[a(n-1)-β]/[a(n-1-α]}²=....=[(a1-β)/(a1-α)]^[2^(n-1)]
=[(1-β)/(1-α)]^[2^(n-1)]
=(β²/α²)^[2^(n-1)]
=(β/α)^(2^n)
所以bn=ln(β/α)^(2^n)=2^n*ln(β/α)
则Sn=(2+2^2+...+2^n)*ln(β/α)
=2(2^n-1)*ln(β/α)
希望能帮到你O(∩_∩)O